Может ли моя жена здороваться с моим отцом за руку

 

Вся хвала Аллаху.

Да, это допустимо, потому что когда человек заключает брачный договор с женщиной, то его отец становится махрамом для нее, так же как его сын от другой жены. И ее мать становится махрамом для него, также как ее дочь от другого мужа.
Это называется махрам по замужеству.
Доводом тому, что отец мужа является махрамом для жены своего сына является аят, в котором Аллах упоминает среди женщин махрамов: «а также жены ваших сыновей, которые произошли из ваших поясниц» (4:23)
Жена сына является махрамом для отца мужа.
Доводом тому, что сын мужа является махрамом для жены его отца является аят, в котором Аллах сказал: «Не женитесь на женщинах, на которых были женаты ваши отцы» (4:22)
Доводом тому, что мать жены является махрамом для мужа своей дочери является аят, в котором Аллах упоминает женщин махармов:
«матери ваших жен» (4:23)
Эти трое (отец мужа, его сын и мать жены) становятся махрамами как только заключается брачный договор, и это остается так, даже если брак не будет доведен до конца (т.е. не будет половой близости).
Относительно дочери жены, она не становится махрамом для мужа своей матери, если только они не доведут свой брак до конца, потому что Аллах сказал: «ваши падчерицы, находящиеся под вашим покровительством, с матерями которых вы имели близость, ведь если вы не имели близости с ними, то на вас не будет греха» (4:23)
Падчерицы (рабиибах) дочери жены.
См. Аль-Мугни, 9/514, 524.
В заключении: отец мужа – махрам для жены сына, и он может пожать руки с ней и быть наедине с ней и отправляться с ней в путешествие. См. вопрос:  5538 , 20750

И Аллаху известно лучше.